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  • 2020年浙江成人高考《數學(文)》考點:數列綜合應用

    浙江成人高考信息網 發布時間:2020-10-18 09:32:42

            縱觀近幾年的成人高考,在解答題中,有關數列的試題出現的頻率較高,不僅可與函數、方程、不等式、復數相聯系,而且還與三角、立體幾何密切相關;數列作為特殊的函數,在實際問題中有著廣泛的應用,如增長率,減薄率,銀行信貸,濃度匹配,養老保險,圓鋼堆壘等問題.這就要求同學們除熟練運用有關概念式外,還要善于觀察題設的特征,聯想有關數學知識和方法,迅速確定解題的方向,以提高解數列題的速度.


      ●難點磁場


      (★★★★★)已知二次函數y=f(x)在x= 處取得最小值- (t>0),f(1)=0.


      (1)求y=f(x)的表達式;


      (2)若任意實數x都滿足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1[g(x)]為多項式,n∈N*),試用t表示an和bn;


      (3)設圓Cn的方程為(x-an)2+(y-bn)2=rn2,圓Cn與Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各項都是正數的等比數列,記Sn為前n個圓的面積之和,求rn、Sn.


      ●案例探究


      [例1]從社會效益和經濟效益出發,某地投入資金進行生態環境建設,并以此發展旅游產業,根據規劃,本年度投入800萬元,以后每年投入將比上年減少 ,本年度當地旅游業收入估計為400萬元,由于該項建設對旅游業的促進作用,預計今后的旅游業收入每年會比上年增加 .


      (1)設n年內(本年度為第一年)總投入為an萬元,旅游業總收入為bn萬元,寫出an,bn的表達式;


      (2)至少經過幾年,旅游業的總收入才能超過總投入?


      命題意圖:本題主要考查建立函數關系式、數列求和、不等式等基礎知識;考查綜合運用數學知識解決實際問題的能力,本題有很強的區分度,屬于應用題型,正是近幾年高考的熱點和重點題型,屬★★★★★級題目.


      知識依托:本題以函數思想為指導,以數列知識為工具,涉及函數建模、數列求和、不等式的解法等知識點.


      錯解分析:(1)問an、bn實際上是兩個數列的前n項和,易與“通項”混淆;(2)問是既解一元二次不等式又解指數不等式,易出現偏差.


      技巧與方法:正確審題、深刻挖掘數量關系,建立數量模型是本題的靈魂,(2)問中指數不等式采用了換元法,是解不等式常用的技巧.


      解:(1)第1年投入為800萬元,第2年投入為800×(1- )萬元,…第n年投入為800×(1- )n-1萬元,所以,n年內的總投入為


      an=800+800×(1- )+…+800×(1- )n-1= 800×(1- )k-1


      =4000×[1-( )n]


      第1年旅游業收入為400萬元,第2年旅游業收入為400×(1+ ),…,第n年旅游業收入400×(1+ )n-1萬元.所以,n年內的旅游業總收入為


      bn=400+400×(1+ )+…+400×(1+ )k-1= 400×( )k-1.


      =1600×[( )n-1]


      (2)設至少經過n年旅游業的總收入才能超過總投入,由此bn-an>0,即:


      1600×[( )n-1]-4000×[1-( )n]>0,令x=( )n,代入上式得:5x2-7x+2>0.解此不等式,得x< ,或x>1(舍去).即( )n< ,由此得n≥5.


      ∴至少經過5年,旅游業的總收入才能超過總投入.


      [例2]已知Sn=1+ +…+ ,(n∈N*)設f(n)=S2n+1-Sn+1,試確定實數m的取值范圍,使得對于一切大于1的自然數n,不等式:f(n)>[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2恒成立.


      命題意圖:本題主要考查應用函數思想解決不等式、數列等問題,需較強的綜合分析問題、解決問題的能力.屬★★★★★級題目.


      知識依托:本題把函數、不等式恒成立等問題組合在一起,構思巧妙.


      錯解分析:本題學生很容易求f(n)的和,但由于無法求和,故對不等式難以處理.


      技巧與方法:解決本題的關鍵是把f(n)(n∈N*)看作是n的函數,此時不等式的恒成立就轉化為:函數f(n)的最小值大于[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2.


      解:∵Sn=1+ +…+ .(n∈N*)


      ∴f(n+1)>f(n)


      ∴f(n)是關于n的增函數


      ∴f(n) min=f(2)= ∴要使一切大于1的自然數n,不等式


      f(n)>[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2恒成立


      只要 >[logm(m-1)]2- [log(m-1)m]2成立即可


      由 得m>1且m≠2


      此時設[logm(m-1)]2=t 則t>0


      于是 解得0


      由此得0<[logm(m-1)]2<1


      解得m> 且m≠2.


      ●錦囊妙計


      1.解答數列綜合題和應用性問題既要有堅實的基礎知識,又要有良好的思維能力和分析、解決問題的能力;解答應用性問題,應充分運用觀察、歸納、猜想的手段,建立出有關等差(比)數列、遞推數列模型,再綜合其他相關知識來解決問題.


      2.縱觀近幾年高考應用題看,解決一個應用題,重點過三關:


      (1)事理關:需要讀懂題意,明確問題的實際背景,即需要一定的閱讀能力.


      (2)文理關:需將實際問題的文字語言轉化數學的符號語言,用數學式子表達數學關系.


      (3)事理關:在構建數學模型的過程中;要求考生對數學知識的檢索能力,認定或構建相應的數學模型,完成用實際問題向數學問題的轉化.構建出數學模型后,要正確得到問題的解,還需要比較扎實的基礎知識和較強的數理能力.


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